Para desarrollar binomios a la potencia 2 y 3 sabes q hay
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
para potencias mayores, se utiliza el teorema del Binomio de Isaac Newton (Ingles), q utiliza el concepto de FACTORIAL y COMBINATORIAS:
El factorial del número n, es el resultado del producto de todos números naturales desde el 1 hasta el mismo. Osea
.... 1! = 1
.... 2! = 1.2 = 2
.... 3! = 1.2.3 = 6
.... 4! = 1.2.3.4 = 24
.... 5! = 1.2.3.4.5 = 120
.... 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720, ...... etc
propiedad.... n! = n • (n-1)!
.......ejem ... 9! = 9 • 8!
................. 12! = 12 • 11!
El Factorial de CERO es 1
El núnero combinatorio de "m" elementos juntados en grupos en "n" elementos es:
............... m ....... m! ..
............. C . = --------------- ..
............... n .... n! (m-n)!
m(índice superior) y n(índice inferior) son números naurales ( |N )
Ejemplo: Si tengo 3 elementos y quiero agrupar en grupos de 2:
a,b,c => a,b ...a,c....bc tres grupos.
Aplicando la combinatoria de 3 en base 2
.... 3 ...... 3! .............. 1.2.3 ..
.. C = --------------- .=.---------------- = 3
.... 2 ... 2! (3-2)! ....... (1.2)(1!) ..
Luego tengo 9 elementos ...... 9 ...... 9! .......... 9.8.7.6! ..
Si los agrupo de a 3............ C . = ------------- . = ------------ = 84 ..
......................................... 3 .... 3! (9-3)! ........ 3! 6! ..
Propiedades ..... m! ..
.... C(m,m) = .-------------- = 1 ; ... C(m,1) = 1 .... C(m,0)= 1 ...
..................... m! (m-m)! ..
La fórmula del binomio de Newton es
.................... n ............ n ............. n ...
(a+b)ⁿ = aⁿ + C aⁿˉ¹ b + C aⁿˉ² b² + C aⁿˉ³ b³ + ..... + bⁿ.....
.................... 1 ............ 2 ............. 3 ....
En el desarrollo, se ve q las potencias del primer elemento "a" van en descenso de uno en uno, en cambio para "b", segundo elemento del binomio sus potencias son crecientes de uno en uno. Las combinatorias nos dan los coeficientes de cada término, asi para el 2do término la combinatoria es C(n,1)= n!/1!(n-1)! =n(n-1)!/1! (n-1)!=n
Luego se puede calcular cualquier termino.
Ejem Hallar (2x+3)^5
C(5,0)(2x)^5+C(5,1) (2x)^4 (3)+C(5,2)(2x)^3(3)^2+C(5,3)(2x)^2(3)^3
+ C(5,4) (2x)(3)^4 + C(5,5) (3)^5
Calculas las combinatorias
C(5,0) = C(5,5)=C(5,1) = 1 (propiedades)
C(5,2)= 5!/3! (5-2)! = 5.4.3!/3! .2! = 10 = C(5,3)
C(5,4)= 5!/4!(5-4)! = 5
(2x+3)^5
=2^5x^5+5(2^4x^4)(3)+10(2^3x^3)(3^2)+ ..
+10(2^2x^2)(3^3) + 5(2x)(3^4)+3^5 ..
=32x^5+240x^4+720x^3+1080x^2+810x+243 ..
El TERMINO GENERAL
Sea el Binomio Newton (a+b)^n
............. n ..... n - k ..k ..
.....T = C .....(a) .... (b) ...
......k+1 . k ...
Ejm
Halla el T6(termino 6) de (3x+2y)^11
Al aplicarla la fórmula, se considera como indice inferior a 5, osea una unidad menos q el lugar pedido
.... T(5+1) = C(6,5) (3x)^(6-5) (2y)^5
...... = 6(3x)(32y^5) = 576xy^5
El triangulo de pascal nos da los coeficientes de binomios, elevados a potencias enteras..
(x+a)º ..... 1
(x+a)¹ ..... 1 ... 1
(x+a)² ..... 1 . 2 . 1 .
(x+a)³ ..... 1 . 3 . 3 . 1
(x+a)⁴ ..... 1 . 4 . 6 . 4 . 1
(x+a)⁵ .... 1 . 5 . 10 . 10 . 5 . 1
Ejemplos de binomio de Newton
1) (x+5)⁵= x⁵+25x⁴+250x³+1250x²+3125x+30625
2) (x-3)⁴= x⁴ -12x³+54x²-108x+81
3) (a- 2)⁶= a⁶- 12a⁵+60a⁴ - 160a³+120a² - 192a+64
4) (m - 1)⁷= m⁷ -7m⁶+21m⁵-35m⁴+35m³-21m²-7m+1
5) (b+1)⁵ = b⁵ + 5b⁴+10b³+10b²+5b+1
6) (d - 1) = d⁴ - 4d³+6d² - 4d+1
OK!!
bye....
