VALORES CARACTERISTICOS, FORMAS CUADRATICAS Y VECTORES CARACTERISTICOS.
VALORES Y VECTORES
Sean T: V V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v y un escalar V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar tal que
Tv =v (1)
Si v " 0 y satisface (1), entonces se llama un eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor . Si V tiene una dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT.
Definición . Eigenvalor y eigenvector. Sea A una matriz de n * n con componentes reales&. El número (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero ven Cn tal que Av = v. (2)
El vector v " 0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor .
Esta definición es válida si A tiene componentes complejas; pero como las matrices que se manejarán tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición es suficiente para nuestros propósitos.
Nota. La palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”. Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores característicos y los eigenvectores reciben el nombre devectores propios o vectores característicos.
Ejemplo 1. Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 * 2.
Sea A = 10 -18
-11
Entonces
A 2 = 10 -18 2 = 2
1 6 -11 1 1
Así, 1 = 1 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v1 = 2
1
De manera similar, A 3 = 10 -18 3 = -6 = -2 3
2 6 -11 2 -4 2
de manera que 2 = -2 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v2 = 3
2
Ejemplo 2. Eigenvalores y eigenvectores de la matriz identidad. Sea A = I, entonces para cualquier v " Cn, Av = Iv = v. Así, 1 es el único valor propio de A y todo v " 0 " Cn es un vector propio de I.
Suponga que es un valor propio de A. Entonces existe un vector diferente de cero
x1
V = x2 " 0 tal que Av = v = Iv. Rescribiendo esto se tiene (A - I)v = 0 (3)
:
xn
Sea A una matriz de n * n, la ecuación (3) corresponde a un sistema homogéneo de n ecuaciones con las incógnitas x1, x2, ..., xn. Como se ha supuesto que el sistema tiene soluciones no triviales, se concluye que det (A - I) = 0. Inversamente, si det (A - I) = 0, entonces la ecuación (3) tiene soluciones no triviales y es el valor propio de A. Por otro lado, si det (A - I) " 0, entonces la única solución a (3) es v = 0 de manera que no es un eigenvalor de A.
Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios
Se encuentra p() = det (A - I).
Se encuentran las raíces 1, 2, . . . , m de p( ) = 0.
Se resuelve el sistema homogéneo (A - iI)v = 0, correspondiente a cada valor propio i.
Observación 1. Por lo general el paso ii) es el más dificil.
Ejemplo 3. Cálculo de valores y vectores propios. Sea A = 4 2
3 3
4 - 2
Entonces det (A - I) = 3 3 - = (4 - )(3 -) - 6 = 2 - 7 + 6 = ( - 1)( - 6) = 0.
Entonces los valores propios de A son 1 = 1 y 2 = 6. Para 1 = 1 se resuelve (A - I)v = 0 o
3 2 x1 = 0
3 2 x2 0
